FaCTOr!al3s



El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n!, y se lee "n factorial". (Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1)

Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120
Su utilidad estriba en que se utiliza en la mayoría de las fórmulas de la COMBINATORIA

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.
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Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:
(a + b)n = an + n × an − 1 × b + Cn, 2 × an − 2 × b2 + ... + n × a × bn − 1 + bn

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Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del , en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones . Se generalizan a los reales con la funcion gamma de gran importancia en el campo de la aritmética.
Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:
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La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la Función gamma de manera que el analisis
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Si tenemos n, que es un número natural mayor que 1, llamamos factorial de n y lo representamos como n! al producto de los n primeros números naturales no nulos. Es decir, un número factorial es el producto de varios números naturales consecutivos a partir del 1.
Considerando que todos los productos tienen por lo menos dos factores, no tienen sentido los símbolos 0! Y 1!, pero para poder aplicar las fórmulas a todos los casos, se definen los números factoriales de 0 y de 1 como 0! = 1 y 1! = 1.
Propiedades de los números factoriales:
  • Multiplicando n factorial por n + 1 obtenemos como resultado n + 1 factorial; es decir, n! (n + 1)= (n + 1)!. De esta propiedad podemos deducir que si dividimos el factorial de n + 1 entre n factorial obtendremos n + 1; es decir, (n + 1)! / n! = n + 1
  • Si multiplicamos un número factorial k! por sus consecutivos hasta llegar a n obtendremos el factorial de n; es decir, k! � (k + 1) � (k + 2) � (k + 3) � ... � (n � 2) � (n � 1) � n = n!
Los números factoriales generalizados son productos de factores consecutivos en orden inverso. Siendo n y k dos números naturales mayores que 1 y siendo n mayor o igual que k, llamamos factorial generalizado de n de orden k, y se representa como n(k) , al producto de k factores descendientes a partir de n; es decir: n(k) = n (n �1) � (n � 2) � (n � 3) � ... � (n � k + 1)
Al igual que en el caso de los factoriales, los símbolos n(0) y n(1) carecen de sentido, pero para poder aplicar las fórmulas, se establece que n(0) = 1 y n(k) = n
Propiedades de los factoriales generalizados:
  • n(n) = n!
  • n(n - h) � h! = n!
  • n(h) � (n � h)! = n!